亚里士多德的三段论-第47章
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①参阅杨卢卡西维茨：《论命题主目的变项函子》（Ｏｎ
Ｖａｒｉａｂｌｅ
ＦｕｎｃW Cｔｏｒｓ
ｏｆ
ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ
Ａｒｇｕｍｅｎｔｓ）
，载《爱尔兰皇家科学院院刊》，都柏林，１９５１年，５４Ａ２。
…… 238
６２２第七章 模态逻辑系统
一个值去代替这个变项，同一变项的每一次出现都用同样的值去代替。
在Ｃ—Ｎ—ｐ系统中，命题变项（如ｐ或ｑ）的值域是由这个系统中所有有意义的命题的表达式所组成的。
除此以外，还可以导入两个常项：１和０，即一个恒真命题和一个恒假命题。
那末，什么是函子变项δ的值域呢？
很明显，我们可以将任何一值去代替δ，只要这个值与ｐ一起能提供一个在我们系统中有意义的表达式。
不仅带一个命题主目的常函子（例如Ｎ）是如此，就是与带一个主目的函子起相同作用的复合表达式也是如此（例如Ｃｑ或ＣＮｐ）。
通过替代δＣｑ，我们从δｐ得出表达式Ｃｑｐ，而通过＇δＣＣＮｐ，则得出表达式ＣＣＮｐ。
但是，这种替代显然不能＇包括所有可能的情况。
我们不能用这个方法从δｐ得出Ｃｐｑ或ＣｐＣＮｐｑ，因为没有任何一种对δ的替代能将ｐ从它最后的位置上移开。
但是毫无疑问，最后所说的两个表达式正如Ｃｑｐ或ＣＣＮｐｐ一样，也是对δｐ的替代，因为δｐ，正如我所知道的那样，是代表所有包含ｐ的（包括ｐ和δｐ本身）有意义的表达式。
我可以用下述方法来克服这个困难，我首先用例子来说明这个方法。
为了从δｐ通过对δ的替代而得出Ｃｐｑ，我写作δＣ‘ｑ，我通过消除δ并用δ的主目、即用ｐ去填充由省略＇符号所划出的空栏来实现这种替代。
用同样的方法我从δｐ通过替代δＣ‘ＣＮ’ｑ得出表达式ＣｐＣＮｐｑ。
如果在表达式中出＇现不止一个δ，如在ＣδｐＣδＮｐδｑ中所出现的那样，而我想对这个表达式作出替代δＣ‘ｒ，那末，我就必须在每一次都消＇除δ并在消除的地方写上Ｃ’ｒ，以δ的相应的主目去填充空
…… 239
４７。
Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统A ７２
栏。
这样，我就从δｐ得出Ｃｐｒ，从δＮｐ得出ＣＮｐｒ，从δｑ得出Ｃｑｒ，而从整个表达式得出ＣＣｐｒＣＮｐｒＣｑｒ。
从同一表达式ＣδｐＣδＮｐδｑ通过替代δＣ‘“推出公式ＣＣｐＣＮｐＮｐＣｑ。
替＇代δ‘表示δ应当省略；通过这样的替代，我们就可以例如＇从ＣδｐＣδＮｐδｑ得出邓斯司各脱原则ＣｐＣＮｐｑ。
替代δδ‘是W ＇“同一的”替代，它不引起任何变化，一般地说，我们通过对δ的替代而从一个包含δ的命题得出一个新的表达式，这种替代是对δ写上一个带有至少一个空白处的有意义的表达式，并且以δ的各个主目去填充这些空白处。
这不是一个新的替代规则，而只是对一个变项函子的替代应当如何实行的一个描述。
Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统可以建立在被断定的单个公理之上，这个单个公理已为我们所熟悉：５１。
ＣδｐＣδＮＰδｑ对这个系统必须加入按照公理加以排斥的表达式ｐ以便产生所有被排斥的表达式。
麦雷狄士在一篇未发表的论文中表明，Ｃ—Ｎ—δ—ｐ系统的所有断定的公式都可以从公理５１推出。
①
①麦雷狄士在他的论文：《论一个命题演算的扩充系统》（Ｏｎ
ａｎ
ＥｘｔｅｎｄCｅｄ
Ｓｙｓｔｅｍｏｆ
ｔｈｅ
ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎａｌ
ｃａｌｃｕｌｕｓ）
（载《爱尔兰皇家科学院院刊》，都柏林，１９５１年，５４Ａ３）中证明，Ｃ—Ｏ—δ—ｐ演算，即以Ｃ和Ｏ作为基本词项和带有函子变项和命题变项的演算，可以从公理Ｃδｏδｐ完全地建立起来。
他的证明完全性能的方法可以运用于带有表达式ＣδＣδＮｐδｑ作为公理的Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统。
在第１６５页注②中所提到的我那篇关于模态逻辑的论文中，我从公理５１推出Ｃ—Ｎ—Ｐ系统的三个被断定的公理，即ＣＣｐｑＣｑｒＣｐｒ，ＣＮｐ，ＣｐＣＮｐｑ，以及某些出现δ的重要断定命题，其中包括扩展原则。
…… 240
８２２第七章 模态逻辑系统
推论规则就是通常的分离规则和对命题变项和函子变项的替代规则。
为了以例子说明这些规则如何发生作用，我将从公理５１推出同一律Ｃｐ。
可将这个推论与Ｃ—Ｎ—ｐ系统中对Ｃｐ证明加以比较。
①
５１。
δ‘，ｑｐ×５３＇５３。
ＣｐＣＮｐ
５１。
δＣｐＣＮｐ‘，ｑＮｐ×Ｃ５３—５４＇ ＇５４。
ＣｐＣＮｐＮｐＮｐＣＮｐＮｐ
５１。
δ‘，ｑＮｐ×５＇ ＇５。
ＣｐＣＮｐＮｐ
５。
ｐＣｐＣＮｐＮｐ×Ｃ５—５６＇５６。
ＣＮＣｐＣＮｐＮｐＮＣｐＣＮｐＮｐ
５１。
δＣ“
，ｐＣｐＣＮｐＮｐ，ｑｐ×Ｃ５４—Ｃ５６—５７＇５７。
Ｃｐ我想强调指出，在公理５１之上建立的系统比Ｃ—Ｎ—ｐ系统要丰富得多。
在包含δ的断定的结论中有这样的逻辑定律，像ＣＣｐｑＣｑｐＣδｐδｑＣδＣｐｑＣδｐδｑＣδＣｐｑＣｐδｑ——所有这些都是非常重要的定律，但是几乎所有的逻辑学家对它们都毫无所知。
例如，第一个定律是与ＣＱｐｑＣδｐδｑ等值的扩展原则，第二个定律可以采用为称作“蕴涵”系统的唯一的公理；第三个定律可以采用为称作“实证”
逻辑的一个公理。
所有这些定律都可以用真值表方法按照下面给予的规则加以验证。
在二值逻辑中存在四个并且也只有四个带有一个主目的
①参阅第１０２页。
…… 241
４８。
δ－定义A ９２
不同函子，这里用Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ来标志（参阅真值表Ｍ６）
对验证δ－表达式，用下述实用规则是足够的，这个规则实际上应当归功于列斯涅夫斯基。
这个规则是：相继地写下函子Ｖ，Ｓ，Ｎ和Ｆ以代替δ，然后消除Ｓ，将Ｖａ变成Ｃｐ，而将Ｆａ变成ＮＣｐ。
如果你们在所有的情况下都得出一个真的Ｃ—Ｎ—公式，那末，这个表达式就被断定，否则，就应当被排斥。
例如，ＣδＣｐｑＣδｐδｑ应当被断定，因为我们有ＣＳＣｐｑＣＳｐＳｑ＝ＣＣｐｑＣｐｑ，ＣＮＣｐｑＣＮｐＮｑ，ＣＶＣｐｑＣＶｐＶｑ＝ＣＣｐＣｐＣｐ，ＣＦＣｐｑＣＦｐＦｑ＝ＣＮＣｐＣＮＣｐＮＣｐ。
表达式ＣＣｐｑＣδｐδｑ应当被排斥，因为ＣＣｐｑＣＮｐＮｑ不是一个真的Ｃ—Ｎ—公式。
由此，我们看到，Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统的所有表达式用真值表的方法都是容易加以证明或否证的。
４８。
δ－定义A函子δ可以成功地运用于表达定义。
《数学原理》的作者们用一个特殊的符号表达定义，这特殊的符号由将定义项和被定义项联结起来的等号“＝”
，以及放在定义之后的字母
…… 242
０３２第七章 模态逻辑系统
“ＤＦ”所组成。
按照这个方法，析取式的定义就可以这样来表示：ＣＮｐｑ。
＝。
Ｈｐｑ
Ｄｆ，这里ＣＮｐｑ（“如果非ｐ，那末ｑ”）是定义项，而Ｈｐｑ，（“或者ｐ，或者ｑ”）是被定义项。
①符号“。
＝。
Ｄｆ“是与一个特殊的推论规则联结在一起的，这个推论规则允许用被定义项代替定义项，以及反转过来。
这种定义的优点在于结果是直接给予的。
但是它却具有增加基本符号和推论规则的数目这样的缺点，而这些数目应当尽可能地减少。
列斯涅夫斯基总是将同样的定义写成一个等值式，因此，在他的系统中没有引入用以表达定义的新的基本词项。
为了这个目的，他选择了等值式作为他的命题逻辑的基本词项，这个命题逻辑借助于函子变项和量符而加以扩展，并且被他称之为“原始命题演算系统”
（ｐｒｏｔｏｔｈｅｔｉｃ）。
这正是他的观点的优越之处。
但另一方面，他不能直接用被定义项代换定义项，或者反转过来，因为等值式具有允许作出这种代换的一些特殊规则。
在我们的Ｃ—Ｎ—δ—Ｐ系统中，等值式不是基本词项；因此对它必须给以定义，但是为了避免恶的循环，它不能用等值式来下定义。
然而，我们将看到，可以用一定的方法将Ｃ和δ去表达定义，这种方法保存了上述两种观点的优点，而避免了它们的缺点。
①我通常用Ａ表示析取，但这个符号在我的三段论中已经具有了别的意义。
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４８。
δ－定义A １３２
一个定义的目的在于引入一个新的词项，这个词项通常是由我们已知的词项所组成的一些复合表�
