亚里士多德的三段论-第32章
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的部分时，才是真的。
从而，前提Ｅａｂ，作为Ｉａｂ的否定，当且仅当圆圈ａ与ｂ没有任何共同部分，亦即它们彼此排斥时，才是真的。
所以，如果ａ与ｂ是等同的，Ｉａｂ是真的而Ｅａｂ是假的。
现在，我将研究有关这个圆圈的数目的种种假定。
这个圆
①见第９５页注①所引斯卢派斯基的论文。
我曾试图简化作者的论证，以便使得它们为未曾受过数学思维训练的读者们所理解。
当然，对于斯卢派斯基的观念的以后的解释是要由我独自负责的。
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２９。不能判定的表达式的数目A ５４１
圈的数目设定为我们的“论域”
，亦即我们解释的领域。
很明显，我们的基础的规则贯穿全部的解释仍然是正确的。
如果我们的论域包含着三个圆圈或者更多一些，四条断定的公理当然都被确证，而这个作为公理的排斥的表达式
P５９。
ＣＫＡｃｂＡａｂＩａｃ被排斥，因为能够画出两个彼此排斥的圆圈ｃ和ａ都包含于第三个圆圈ｂ之中。
前提Ａｃｂ与Ａａｂ因而都真，而结论Ｉａｃ是假的。
表达式
P５９ａＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ也被排斥了。
因为我们能够画三个圆圈每一个都与其它两个排斥，因而前提Ｅｃｂ与Ｅａｂ都是真的而结论Ｉａｃ是假的。
所以，这个解释满足我们的基础的条件，而且所有我们的其它解释亦复如此。
现在让我们假定我们的论域只包括三个圆圈而没有更多的，并且让我们考虑以下的表达式：（Ｆ３）ＣＥａｂＣＥａｃＣＥａｄＣＥｂｃＣＥｂｄＩｃｄ。
这个表达式包含四个不同的变项，但它们每一个只能取三个值，因为我们只能画三个不同的圆圈。
无论用什么方式以这三个值来替代变项，两个变项总必定要接受同一个值，也即是必须等同。
但如果某一对变项，ａ与ｂ，或ａ与ｃ或ａ与ｄ，或ｂ与ｃ，或ｂ与ｄ，含有等同的元素，则相应的那个Ｅ前提就成为假的，而整个的蕴涵式，即表达式（Ｆ３）
，就被确证了；并且如果最后一对变项，ｃ与ｄ，有等同的元素，则结论Ｉｃｄ就成为真的，而整个蕴涵式也被确证了。
在只能画三个圆圈的条件下，表达式（Ｆ３）
是真的并且不能用我们的排斥的公理和规
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６４１第五章 判定问题
则加以反驳。
然而，如果我们假定我们的论域含有多于三个的圆圈，那么，我们可以画四个圆圈，它们每一个排斥其它三个，于是（Ｆ３）成为假的。
所以（Ｆ３）不能被我们的判定的公理和规则证明，由于用我们的公理和规则系统，（Ｆ３）既不能被证明，也不能被反驳，所以它是一个不可判定的表达式。
现在让我们考虑一个表达式，它有着这个形式（Ｆ４）Ｃα１Ｃα２Ｃα３，Ｃαｎβ包含ｎ个不同的变项：
ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ
并且让我们假定：（１）
（Ｆ４）的每一个前件，都是Ｅａｉａｊ型的，ａｉ不同于ａｊ；（２）后件β是Ｉａｋａｌ型的，ａｋ不同于ａｌ；（３）所有可能的不同变项的偶都出现在（Ｆ４）中。
如果我们的论域只含有（ｎ—１）个圆圈，（Ｆ４）就被确证了，因为某两个变项必须是等同的，并且或者前件之一成为假的，或者后件是真的。
但如果我们的论域包含多于（ｎ—１）
个圆圈，（Ｆ４）
就不能确证，因为可以画出几个圆圈，每一个都排斥其余的，使得所有前件成为真的，而后件是假的，所以（Ｆ４）是一个不能判定的表达式。
这样的不可判定的表达式在数目上是无穷的，因为ｎ可以是任何正整数。
很明显，在亚里士多德逻辑中它们都是假的，并且应被排斥，因为我们不能把亚里士多德逻辑限制在一个有穷数的词项中，而（Ｆ４）
形式的表达式当词项数目是无穷时就被反驳了。
这个无穷数目的不可判定的表达式除非作为公理来排斥，否则是无法排斥的，这是从以下考虑得出的：（Ｆ３）不能被我们的公理和规则系统所反驳，所以必须作为公
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３０。斯卢派斯基的排斥规则A ７４１
理加以排斥。
其次，一个包含着五个不同词项的不可判定的表达式（Ｆ４）
，我们的公理和规则系统以及与已被排斥的表达式（Ｆ３）
一起也不能予以反驳，也必须作为公理加以排斥。
对每一个（Ｆ４）
形式的其它的不可判定的表达式都可以重复这样的论证。
因为不能作为公理排斥无穷数目的表达式，我们必须寻求另外的手段，如果我们想肯定地解决判定问题的话。
３０。斯卢派斯基的排斥规则A我从两个术语的说明开始：Ａａｂ，Ｉａｂ，Ｅａｂ，Ｏａｂ类型的表达式，我称为简单的表达式；头两个是简单肯定表达式，而三、四两个是简单否定表达式。
简单表达式以及这种类型的表达式：
Ｃα１Ｃα２Ｃα３…
Ｃαｎ１ＣαｎC（其中所有α都是简单表达式）
，我都称为初等表达式。
斯卢派斯基排斥规则可以借助于这个术语陈述如下：如果α和β都是简单否定表达式并且γ是一个初等表达式，那么，如果Ｃαγ与Ｃβγ都被排斥，则ＣαＣβγ必定也被排斥。
斯卢派斯基排斥规则与传统逻辑的下列元逻辑原则（ｍｅｔａｌｏ－ｇｉｃａｌ
ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ）
有密切联系：“ｕｔｒａｑｕｅ
ｓｉ
ｐｒａｅCｍｉｓａ
ｎｅｇｅｔ，ｎｉｌ
ｉｎｄｅ
ｓｅｑｕｅｔｕｒ。“
（如果两前提都是否定的，那么不能得出结论。）然而这个原则并不是十分普遍的，因为它仅仅涉及三个词项的简单三段论。
同一原则的另一公式，“ｅｘｍｅｒｅ
ｎｅｇａｔｉｖｉｓ
ｎｉｈｉｌ
ｓｅｑｕｉｔｕｒ，“
（“仅从否定前
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８４１第五章 判定问题
提不能得结论“）
，表面看来是更为普遍的，但是把它不仅用于三段论而且也用于三段论系统的其它表达式时，它却是假的。
像断定命题ＣＥａｂＥｂａ或ＣＥａｂＯａｂ这样的表达式明明表现出仅从否定前提可以得出某些东西。
斯卢派斯基规则是一条普遍规则，而且避免了传统公式的困难。
为了弄清楚斯卢派斯基规则，让我们更充分地解释这一点。
命题Ａａｃ不能从前提Ａａｂ或者从前提Ａｂｃ得出；但当我们联结这些前提成为“Ａａｂ并且Ａｂｃ”时，我们就从Ｂａｒｂａｒａ式得到结论Ａａｃ。
Ｅａｃ不能从Ｅｂｃ得出，也不能从Ａａｂ得出；但从这些前提的合取“Ｅｂｃ并且Ａａｂ”用Ｃｅｌａｒｅｎｔ式，我们就得到结论Ｅａｃ。
在这两个场合，我们都从前提的合取得到某个新的命题，这些新的命题是前提中的任何孤立的一个所不能得出的。
然而，如果我们有两个否定命题，像Ｅｃｂ与Ｅａｂ，当然我们能够从第一个得到结论Ｏｃｂ而从第二个得到结论Ｏａｂ，但是从这两个否定命题的合取，除了那些从它们各自孤立地得出的新命题外，不能得出任何新命题。
这就是斯卢派斯基排斥规则的意思：如果γ并不从α或从β得出，它也不能从α与β的合取式得出，因为从两个否定前提不能得出它们孤立地并未得出的任何东西。
斯卢派斯基规则是与传统逻辑的相应规则同样的浅显明白。
现在我将表明这个规则怎样能够应用于排斥不能判定的表达式。
为此目的，我把这规则用在符号的形式中。
用ＲＳ（Ｒｕｌｅ
ｏｆＳｌｕｐｅｃｋｉ）来表示它：ＲＳ。PＣαγ，PＣβγ，→PＣαＣβγ。
在这里犹如在任何地方一样，我用希腊字母表示满足某些条
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３０。斯卢派斯基的排斥规则A ９４１
件的变项表达式：这样，α和β必须是三段论系统的简单否定表达式，γ必须是一个象前面说明过的初等表达式，而且三个表达式必须使得Ｃαγ和Ｃβγ可以被排斥。
箭头（→）是“所以”的意思。
我想着重指出这个事实，即ＲＳ是一个特别的规则，只是对亚里士多德逻辑的否定表达式α和β才是正确的，并且，如我们已经看到的，它不能应用于三段论系统的肯定表达式。
它也不能应用于演绎理论。
这一点可从下面的例子得出：表达式ＣＮＣｐｑｒ与ＣＮＣｑｐｒ都不是真的，并且都应当被排斥（如果排斥已引入这个理论之中的话）
，但是ＣＮＣｐｑＣCＮＣｑｐｒ却是一个断定命题。
同样，在代数中，从前提“ａ不小于ｂ”或从前提“ｂ不小于ａ”都不能得出命题“ａ等于ｂ”
，但是它从这些前提的合取式中得出。
作为这条新规则的首次应用，我将表明已被作为公理排斥的表达式
P５９ａ。
ＣＫＥｃｂＥａｂＩａｃ，现在能被反驳。
这一点来自以下的推导：
９
