人类的知识-第76章

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况，我们就给概然论带来了混乱。

可信性与主观上的确信之间的关连是一种可以用经验的方法来研究的关
连；因此我们在看到证据之前无需对这个问题持有任何看法。举例来说，一
个变戏法的人能够用一种自己知道，但却有意欺骗观众的方法来安排条件；
这样他就可以获得怎样产生不真实的确信的与件，这些与件在广告和宣传中
是容易产生作用的。我们不能这样简单地研究可信性对于真理的关系，因为
我们通常把高度的可信性当作真理的充分证据，如果我们不这样做就不能再
发现任何真理。但是我们能够发现具有高度可信性的命题是否构成一个互相
一致的集合，因为这个集合包含着逻辑的命题。

根据上面初步的讨论，我认为按照习惯的用法，两种不同的概念都同样
具有可以叫作“概然性”的权利。其中第一种是数学上的概率，它可以用数
字度量并且满足概率计算的公理；这是使用统计时所涉及的那一种，不管是
用在物理学、生物学或者社会科学哪一方面，并且是我们希望为归纳法所包
括的那一种。与这种概率发生关系的永远是类而不是个别的实例，除非我们
能把这些实例仅仅当作例证来看。

但是还有另外一种概然性，我把它叫作“可信度”。这种344　概然性应
用于个别的命题，并且永远要把一切有关的证据考虑在内。它甚至应用于某
些没有已知证据的实例。我们所能得到的最高程度的可信性应用于大多数的
知觉判断；不同程度的可信性也随着记忆判断的明鲜程度和时间远近而应用
于记忆判断上。就有些实例来说，可信度可以根据数学上的概率推断出来，
而另外一些实例就不能这样；但是即使在可以的情况下，记住它是个不同的
概念这一点还是要紧的。当有人说我们所有的知识只具有概然性，而概然性
又是生活的指南时，所说的正是这一种概然性，而不是数学上的概率。

这两种概然性都需要加以讨论。我将从数学上的概率谈起。

第二章概率计算

在本章内我想把概率论作为纯粹数学的一个分支来加以论述，演绎出某
些公理的结论而无需给它们以这种或那种的解释①。我们可以看到，尽管人们
对于这一领域内的解释意见不一，这种数学计算本身还是与数学中其它任何
分支享有同样程度的公认。这种情况并不是概率论所特有的。微分学的解释
约近二百年来一直是数学家和哲学家争论的一个题目；莱布足兹认为它包括
真正的极小数，直到魏尔斯特拉斯这个看法才被完全否证。再举一个更带基
本性质的例：对于初等算术从来没有发生过什么争论，但是自然数的定义却
仍然是一个争论未决的问题。所以对于“概然性”的定义有疑问而对于概率
计算没有（或很少有）疑问这一点我们就不必感到奇怪了。

按照约翰逊和凯恩斯的办法，我们用“p/h”。。　来表示这个不下定义的概念：

p　在已知h　的条件下的概率。当我说这个概念是不下定义的概念时，我的意

思是说它只由将要列举出来的公理或公设来下定义。任何可以满足这些公理

的东西都是概率计算的一个“解释”，人们可以料到将有许多可能的解释。

其中没有哪一个比另外一个更为正确或更为合理，但是有些却可能比另外一

些更为重要。所以在给皮阿诺的五个算术公理找出一种解释时，那种以O　为

第一个数的解释就比那种以3781　为第一个数的解释更为重要；它之所以更为

重要，原因在于它能让我们把形式主义的概念的解释和在列举中所认识的概

念等同起来。但是目前我们将不去管一切解释的问题，我们对概率只作纯粹

形式的论述。

不同作者所提出的必要的公理或公设都大体相同。下面的说法采自C。　D。
布劳德教授①。这些公理是：

1。已知P　和h，那么p/h　只有一个值。所以我们能够谈到“p　在已知h
的条件下的概率”。
II。p/h　的可能值是所有从0　到1　的实数，包括0　与1　在内。（照某些解
释我们把可能值限于有理数；这是一个我将在以后讨论的问题。）
III。如果h　蕴涵p；那么p/h＝1。（我们用“1”表示必然性。）
IV，如果h　蕴涵非p；那么p/h＝0。（我们用“0”表示不可能性。）
V。p　和q在已知h的条件下的概率等于p在己知h的条件下的概率乘以q
在已知h　的条件下的概率，也等于q　在已知h　的条件下的概率乘以P　在已知
q　和h　的条件下的概率。
这叫作“合取”公理。

VI。p　和/或q在已知h的条件下的概率是p在已知h的条件下的概率加。
q　在已知h　的条件下的概率减去p　和q　在已知h346　的条件下的概率。
这叫作“析取”公理。
就我们的目的来说，这些公理是否都是必要的并没有什么要紧；我们所

关心的只是它们是充分的。

关于这些公理有几点需要注意。显然II、III　和IV　部分地体现了容易改
变的惯例。如果采用了它们，而一个已知概率的约量是X，那么我们就同样
有理由采用任何随着X　的增长而增长的数f（x）作为约量：我们可以用f（1）

①　关于“解释”，看第四部分第一章。
①　哲学杂志“精神”，新第210　号，第98　页。

和f（O）替换III　和IV　中的1　和0。

按照上面的公理，一个与件为真则必真的命题，相对于与件来说，具有
概率1；一个与件为真则必伪的命题，相对于与件来说，具有概率0。

重要的是看到我们的基本概念p/h　是两个命题的一种关系（或者命题的
合取），而不是一个单一命题的一种性质。这就把数学计算中的概率与作为
实际生活指南的概然性区分开来，因为后者只能属于一个本身独立存在的命
题，或者至少属于一个相对于不是任意选定，而是受我们知识的问题和性质
决定的与件的命题。与此相反，在概率计算中，与件h　的选定完全是任意的。

公理V　是“合取”公理。它提供的机会是两个事件中每个都会发生。例
如：如果我从一副纸牌中抽出两张牌来，它们都是红牌的机会是多少？这里
“h”代表一副纸牌由26　张红牌和26　张黑牌组成这个与件；“p”代表“第
一张牌是红牌”这句活，而q　代表“第二张牌是黑牌”这句话。那么“（p
和q）/h”就是两张牌都是红牌的机会，“p/h”是第一张牌是红牌的机会，
“q/（p　和h）”是在已知第一张牌是红牌的条件下，第二张牌是红牌的机会。
显然“p/h＝1/2，q/（p　和h）＝25/51。这样根据本公理，两张牌都是红牌
的机会是1/2×25/51。

公理VI　是“析取”公理。就上面的实例来看，它提供的机会是这两张牌
中至少有一张牌是红牌。它说至少有一张红牌的机会等于第一张牌是红牌的
机会加上第二张牌是红牌的机会（在不知道347　第一张牌是红牌还是不是红
牌的情况下）减去两张牌都是红牌的机会。

这等于12　十13　—　12　×2551，它采用了上面使用合取公理所取得的结

果。

可以明显看出，已知任何有限的事件集合的各自概率，通过公理V　和公
理VI，我们能够计算出它们都出现，或者它们当中至少有一个出现的概率。

根据合取公理我们得出：

p/　qh　=
（p/h　×（　（　和））qph

（和）
q/h

这叫作“逆概率原理”。它的用处可以举例说明如下。设p　为某种一般理论，
q　为一个与p　相关的实验与件。那么p/h　就是在前所已知的与件下理论p　的
概率，q/h　就是在前所已知的与件下q　的概率；q/（p　和h）就是当p　为真时q
的概率。这样理论P　在已经发现q　以后的概率等于p　先前的概率乘以q　在已
知p　的条件下的概率，并除以q　先前的概率。在最有用的情况下，理论p　将
是一个蕴涵q　的理论，结果q（p　和h）=1。在这种情况下。

p/　qh　=
q/h
。

（和）
p/　h

这就是说，新的与件q　使p　的概率按照与q　的先在的不大可能性成比例的方
式增加。换句话说，如果我们的理论蕴涵某种非常令人惊奇的事物，而这种
令人惊奇的事物后来被人发现存在，这就大大增加了我们的理论的概率。

这个原则可以拿发现海王星作例来说明，把它当作万有引力定律的证
实。这里p=引力定律，h＝在发现海王星之前所有有关事实，q=在某一地点
发现海王星这件事实。这样q/h　就是一个至今尚未发现的行星将在某一小的
天体领域内被发现的先在概率。让我们用m/n　来表示它。那么在海王星被发
现之后，引力定律的概率为以前的n/m　倍那样大。

从判断新的证据对于一种科学理论的概率的关系上来说，这个原则显然
是很重要的。可是我们将发现结果却有些令人失望，不能产生可以期待的好
的结果。

有一个重要的命题，有时叫作贝那士定理，内容有如下述：设P1，P2，。。
Pn　为n　个互相排斥的可能，我们知道其中某一个为真；设h　为一般与件，q
为某件有关的事实。我们想知道一种可能p，在已知q　的条件下的概率，如
果我们知道对于每个r　来说，每一pr　在尚未知道q　时的概率以及q　在已知
Pr　的条件下的概率。我们有

n

Pr/　qh　q/　（pr　h　pr/h　）　/　。（（　pr，和）·pr　/h　）

（和）＝（和）·qh

1

这个命题使我们能够，比方说，解决下面的问题：我们已知n＋l　个口袋，其
中第一个口袋装有n　个黑球，没有白球，第二个口袋装有n…个黑球和一个白
球，第r＋1　个口袋装有n…r　个黑球和r　个白球。选出一个口袋，但是我们并
不知道是哪一个；从中取出m　个球，发现都是白的；那么第r　个口袋被选中
的概率是多少？从历史上来看，这个问题的重要是因为它与拉普拉斯自称的
归纳证明有